Medzi deviatimi mincami je presne jedna falošná (má inú hmotnosť).
Nájdete ju pomocou rovnoramenných váh iba na tri váženia?
Riešenie
Rozdelíme mince do troch skupín po tri mince. Označme mince v prvej skupine \(x_1\), \(y_1\), \(z_1\) a podobne aj v ostatných.
Porovnáme prvé dve skupiny, ak sú v rovnováhe, tak falošná minca je v tretej skupine.
- Ak \(x_1+y_1+z_1= x_2+y_2+z_2\)
- Ak \(x_3=y_3\) (rovnováha), tak \(z_3\) je falošná.
- Ak \(x_3\neq y_3\) (nerovnováha), tak \(z_3\) je určite pravá.
- Ak \(x_3=z_3\), tak \(y_3\) je falošná.
- Ak \(x_3\neq z_3\), tak \(x_3\) je falošná.
Ak prvé dve skupiny nie sú v rovnováhe:
- Nech \(x_1+y_1+z_1 < x_2+y_2+z_2\)
- Ak \(x_1+y_2 = x_2+y_1\), tak falošná je \(z_1\) alebo \(z_2\)
- Ak \(x_3 = z_2\), tak falošná je \(z_1\)
- Ak \(x_3 \neq z_2\), tak falošná je \(z_2\)
- Ak \(x_1+y_2 < x_2+y_1\), tak falošná je \(x_1\) alebo \(y_2\)
- Ak \(x_3 = x_1\), tak falošná je \(y_2\)
- Ak \(x_3 \neq x_1\), tak falošná je \(x_1\)
- Ak \(x_1+y_2 > x_2+y_1\), tak falošná je \(x_2\) alebo \(y_1\)
- Ak \(x_3 = x_2\), tak falošná je \(y_1\)
- Ak \(x_3 \neq x_2\), tak falošná je \(x_2\)
- Ak \(x_1+y_2 = x_2+y_1\), tak falošná je \(z_1\) alebo \(z_2\)