Táto úloha je voľným pokračovaním úloh Spravodlivá hra a Spravodlivá hra 2.
Janko a Marián hrajú na námestí nasledujúcu hru: Janko hádže mincou. Za každý hod zaplatí Mariánovi 1€. Ale keď hodí za sebou PPP (panna, orol), tak mu Marián vyplatí 15€ a potom hrajú znova.
Príklad:
1. hra OPPP – 11€ vyhráva Janko.
2. hra POOPPOOOPPP – 4€ vyhráva Janko
3. hra OPOOOOPPOOPOOOOPPOOPOPPP – 10€ vyhráva Marián
4. hra OOOPPOOPOPOOPPOOOPPP – 5€ vyhráva Marián
atď.
Maroško to už nejaký čas sleduje a zdá sa mu, že Janko vyhráva. Aj on chce zarobiť, tak navrhne Mariánovi, že si to zahrá namiesto Janka. Marián súhlasí, ale že na zníži výhru na 7€ a Maroškovi stačí hodiť nielen PPP ale aj OOO.
Má Maroško pravdu, že pôvodná hra je výhodná pre hráča, ktorý platí za hod?
Ako zmení výsledok zmena pravidiel = PPP alebo OOO za 7€?
Riešenie
Asi je jasné, že vytúžená trojica sa môže prvýkrát vyskytnúť v treťom ťahu, štvrtom, … Preto môžeme vypočítať priemerný hod, v ktorom sa daná trojica vyskytne prvýkrát. Tento priemerný hod (počet zaplatených € za hody) potom porovnáme s vyplácanou výhrou (7€).
Pre Janka bola hra výhodná, zarobil v priemere 1€ za hru. To bolo vypočítané v 1. spravodlivej hre.
Pre priemerný počet hodov \(p\) na dosiahnutie PPP alebo OOO stačí zostaviť 3 rovnice, \(p_2, p_1\) sú priemerné počty hodov ak ostáva hodiť správne ešte 2, resp. 1 hod/y :
\(p=1+p_2\), 1. hod môže byť ľubovoľný, potom treba hodiť 2 správne hody.
\(p_2=1 + \frac{1}{2}\cdot p_1+\frac{1}{2}\cdot p_2\), Ak treba 2 správne hody, tak po 1 hode sa na 50% trafíme a ostáva 1 hod, na 50% netrafíme a ostávajú 2 hody.
\(p_1=1 + \frac{1}{2}\cdot p_2\), Ak treba 1 správny hod, tak ak sa trafíme, tak je koniec a ak nie (50%), tak ostávajú opäť 2 hody.
Dostaneme:
\(p_1 = 4\), \(p_2 = 6\), \(p = 7\), Takže táto hra by bola spravodlivá.