Janko a Marián hrajú na námestí nasledujúcu hru: Janko má 9 kariet: 3 esá (A, ace), 3 kráľov (K, king) a 3 dámy (Q, queen) vo farbách ♥ ♣ a ♠. Pred každou hrou sú dobre zamiešané a Marián, po zaplatení 1 piva povie, kde sa bude nachádzať tretie eso. Potom postupne zhora berú karty a ak je posledné eso naozaj na pozícii, ktorú tipol Marián, tak mu Janko zaplatí 4 pivá.
Napríklad:
Marián tipol 6 a karty boli A♠, K♣, A♥, A♣, … – prehral.
Marián tipol 7 a karty boli J♣, J♠, Q♠, A♣, A♥, J♥, A♠, … – vyhral.
Marián tipol 5 a karty boli Q♠, A♥, J♥, A♠, A♣, … – vyhral.
Maroško to už nejaký čas sleduje a zdá sa mu, že Marián vyhráva. Aj on chce zarobiť, tak navrhne, že si to zahrá aj on. Janko súhlasí, ale že budú hrať s kompletným balíčkom pokerových kariet (52 kariet, hodnoty: 2, 3, 4, …, 10, J, Q, K, A; každá hodnota je v štyroch farbách:♦ ♥ ♣ a ♠). Ak Maroško tipne správne pozíciu posledného (štvrtého) esa, tak mu Janko vyplatí 14 pív. Za hru sa platí 1 pivo.
Kto by celkovo vyhral a koľko by (v priemere) vyhral pri 9 kartách, ak by hrali túto hru 1 000 krát?
Kto by celkovo vyhral a koľko by (v priemere) vyhral pri 52 kartách, ak by hrali túto hru 1 000 krát?
Predpoklad: Marián aj Maroško budú hrať ideálne.
Táto úloha je voľným pokračovaním úloh Spravodlivá hra, Spravodlivá hra 2, Spravodlivá hra 3 a Spravodlivá hra 4 – 50 odtieňov rizika.
Riešenie
Úloha je pomerne jednoduchá. A je ešte jednoduchšia ak si uvedomíme:
- Posledné eso je prvé eso od konca.
- Pravdepodobnosť každej postupnosti kariet je rovnaká. Preto každá postupnosť kariet má rovnakú pravdepodobnosť ako otočená postupnosť kariet (odzadu).
Preto stačí riešiť “otočenú” úlohu: Na ktorej pozícii bude prvé eso.
Pravdepodobnosť, že prvé eso bude na:
- pozícii: \(p_1 = \frac{4}{52}= \frac{1}{13}\doteq0,076923\)
- pozícii: \(p_2 = \frac{48}{52}\cdot\frac{4}{51}= \frac{48}{51}\cdot\frac{4}{52}\doteq0.072398\)
- pozícii: \(p_3 = \frac{48}{52}\cdot\frac{47}{51}\cdot\frac{4}{50}= \frac{48}{51}\cdot\frac{47}{50}\cdot\frac{4}{52}\doteq0.068054\)
- atď.
Vidíme, že v princípe násobíme \(\frac{4}{52}\) čoraz menším číslom. Preto v obrátenom príklade je najlepšie tipovať, že prvé eso bude na prvej pozícii.
V pôvodných príkladoch je najlepším tipom posledná karta.
Pri 9 kartách je výhra po 1 000 hrách \(\frac{3}{9}\cdot 1000 \cdot 4\ – 1000 \doteq 333\) pív.
Pri 52 kartách je výhra po 1 000 hrách \(\frac{4}{52}\cdot 1000 \cdot 14\ – 1000 \doteq 77\) pív.