Janko a Marián hrajú na námestí nasledujúcu hru: Janko má 9 kariet: 3 esá (A, ace), 3 kráľov (K, king) a 3 dámy (Q, queen) vo farbách ♥ ♣ a ♠. Pred každou hrou sú dobre zamiešané a Marián, po zaplatení 1 piva povie, kde sa bude nachádzať druhé eso. Potom postupne zhora berú karty a ak je druhé eso naozaj na pozícii, ktorú tipol Marián, tak mu Janko zaplatí 6 pív.
Napríklad:
Marián tipol 3 a karty boli A♠, K♣, A♥, … – vyhral.
Marián tipol 7 a karty boli J♣, J♠, Q♠, A♣, Q♥, J♥, A♠, … – vyhral.
Marián tipol 3 a karty boli Q♠, A♥, J♥, … – prehral.
Maroško to už nejaký čas sleduje a zdá sa mu, že Marián vyhráva. Aj on chce zarobiť, tak navrhne, že si to zahrá aj on. Janko súhlasí, ale že budú hrať s kompletným balíčkom pokerových kariet (52 kariet, hodnoty: 2, 3, 4, …, 10, J, Q, K, A; každá hodnota je v štyroch farbách:♦ ♥ ♣ a ♠). Ak Maroško tipne správne pozíciu druhého esa, tak mu Janko vyplatí 29pív. Za hru sa platí 1 pivo.
Kto by celkovo vyhral a koľko by (v priemere) vyhral pri 9 kartách, ak by hrali túto hru 1 000 krát?
Kto by celkovo vyhral a koľko by (v priemere) vyhral pri 52 kartách, ak by hrali túto hru 1 000 krát?
Predpoklad: Marián aj Maroško budú hrať ideálne.
Táto úloha je voľným pokračovaním úloh Spravodlivá hra, Spravodlivá hra 2, Spravodlivá hra 3, Spravodlivá hra 4 – 50 odtieňov rizika a Spravodlivá hra 5.
Riešenie
Úloha je zložitejšia. Pri deviatich kartách a troch esách sa dá očakávať, že stred, t. j. 5. pozícia je najlepší tip. Pri klasickom balíku, prvé a posledné eso budú na krajoch a zvyšné dve esá by mali rozdeliť balík symetricky na tretiny, preto môžeme očakávať, že druhé eso bude na 52/3, t. j. 17 alebo 18 pozícii. Vzorček sa dá odvodiť pomerne priamočiaro, všeobecne:
- Nech \(t\) je počet všetkých kariet – môžu byť umiestnené \(t!\) spôsobmi (poradie).
- Nech \(a\) je počet všetkých es, môžu byť umiestnené \(a\)! spôsobmi (poradie).
- Ne-esá je možné umiestniť \((t−a)!\) spôsobmi (poradie).
- Nechaj \(i\) je poradové číslo skúmaného esa \(i \in{1,2,…,a}\).
- Nech \(n\) je pozícia \(i\)-teho esa.
- Pre prvé esá je \(\binom{n-1}{i-1}\) možností (pozície).
- Pre posledné esá \(\binom{t-n}{a-i}\) možností (pozície).
\(p_n=\frac{a! (t-a)! \binom{n-1}{i-1} \binom{t-n}{a-i}}{t!}\)
Teda, ak \(t=52\), \(a=4\), \(i=2\), tak:
\(p_{17}=\frac{16}{455}\doteq 0,0351648\)
\(p_{18}=\frac{561}{15925}\doteq 0,0352276\)
Pri 9 kartách je výhra po 1 000 hrách \(\frac{4}{21}\cdot 1000 \cdot 6\ – 1000 \doteq 143\) pív.
Pri 52 kartách je výhra po 1 000 hrách \(\frac{561}{15925}\cdot 1000 \cdot 29\ – 1000 \doteq 22\) pív.