V stánku vážili ovocie na rovnoramenných váhach. Kontrola zistila, že ramená nie sú rovnako dlhé a zakázala ich používať. V tom prišiel zákazník, chcel 2 kg hrozna a navrhol riešenie.: “Položím na ľavú stranu kilogramové závažie a na pravej strane vyvážim hroznom. Potom položím závažie na pravú stranu a vyvážim ďalším hroznom. Bude to spravodlivé, lebo raz dostanem viac a raz menej, spolu 2 kg.”
Môže s takýmto vážením súhlasiť predávajúci?
Nájdete spôsob ako vážiť správne aj na nerovnoramenných váhach?
Riešenie
Predávajúci bude súhlasiť, ak nevie počítať. Zákazník to navrhne, ak nevie počítať alebo ak vie a nie je čestný.
Nech platí vzťah:
\(kL = P\),
kde \(P\) je dĺžka pravého ramena a \(L\) dĺžka ľavého ramena, \(k\neq1 \land k>0\).
Napríklad, \(k=1,1\) znamená, že pravé rameno je o \(10\)% dlhšie ako ľavé. A ak \(k=0,8\), znamenalo by to, že ľavé rameno je o \(25\)% dlhšie ako pravé.
Prvé váženie: Závažie dáme na ľavú stranu, \(\frac{1}{k}\) je hmotnosť hrozna na pravej strane (aby rovnosť platila).
\(L\cdot 1kg = P \cdot \frac{1}{k}\)
\(L\cdot 1kg = kL \cdot \frac{1}{k}\)
Druhé váženie: Závažie dáme na pravú stranu, \(k\) je hmotnosť hrozna na ľavej strane (aby rovnosť platila).
\(L\cdot k = P \cdot 1kg \)
\(L\cdot k = kL \cdot 1kg \)
Hrozno z oboch vážení má spolu \((k+\frac{1}{k})\)kg. Porovnajme túto hmotnosť s 2kg. Použijeme znak \(\lesseqqgtr\), pretože zatiaľ nevieme, či je to menšie, väčšie alebo rovné.
\(k+\frac{1}{k} \lesseqqgtr 2\), odčítame 2, vynásobíme obe strany k (k je kladné, t.j. nie je záporné – menilo by sa znamienko nerovnosti a nie je ani nula)
\(k^2-2 k+1\lesseqqgtr 0\)
\((k-1)^2\lesseqqgtr 0\), keďže \(k\neq1\), tak
\((k-1)^2 > 0\)
Použili sme iba ekvivalentné úpravy, preto \(k+\frac{1}{k}>2\) a hrozna bude viac ako 2kg.
Tu by nás malo zaujímať o koľko kilogramov (alebo o koľko percent) to prevyšuje 2kg.
Závisí to samozrejme od \(k\).
\(\begin{array}{rrr}
k&kg&\%\\
1.1 & 0.009 & 0.45 \\
1.2 & 0.033 & 1.67 \\
1.3 & 0.069 & 3.46 \\
1.4 & 0.114 & 5.71 \\
1.5 & 0.167 & 8.33 \\
1.6 & 0.225 & 11.25 \\
1.7 & 0.288 & 14.41 \\
1.8 & 0.356 & 17.78 \\
1.9 & 0.426 & 21.32 \\
2.0 & 0.500 & 25.00 \\
2.1 & 0.576 & 28.81 \\
2.2 & 0.655 & 32.73 \\
2.3 & 0.735 & 36.74 \\
2.4 & 0.817 & 40.83 \\
2.5 & 0.900 & 45.00 \\
2.6 & 0.985 & 49.23 \\
2.7 & 1.070 & 53.52 \\
2.8 & 1.157 & 57.86 \\
2.9 & 1.245 & 62.24 \\
3.0 & 1.333 & 66.67 \\
\end{array} \)
Je možné odvážiť správne aj keď sú ramená rôzne dlhé:
- Na ľavú stranu dáme závažie o hmotnosti 2kg.
- Na pravej strane vyvážime hroznom (alebo čímkoľvek iným).
- Závažie nahradíme hroznom, tak aby boli váhy v rovnováhe.
- Hrozno na ľavej strane má 2kg.