Táto úloha je pokračovaním úlohy Dve záľuby, Dve záľuby 2, Dve záľuby 3
Tonko má dve záľuby. Hranie šachu a pitie piva. Keďže tieto dve záľuby nejdú moc dokopy. Rozhodol sa, že to nechá na náhodu.
Pravidlá: Býva v strede mesta pri zastávke autobusu. Obľúbená krčma je na jednom konci mesta a šachový klub na opačnom. Oboma smermi chodí večer autobus. Tonko si povedal, že každý deň po večeri pôjde na zastávku a nastúpi na prvý autobus, ktorý pôjde. Tonko večeria zhruba do 18:00. Po 18:00 ide autobus (jeden jediný) na šach niekedy medzi 18:30 a 20:30 (každý čas v tomto intervale je rovnako pravdepodobný). Autobus (jeden jediný) ide do krčmy niekedy medzi 19:30 a 21:00 (aj v tomto prípade je každý čas rovnako pravdepodobný).
Aká je pravdepodobnosť, že Tonko pôjde po večeri do krčmy? Tonko tuší, že bude menšia ako to, že pôjde na šach.
Riešenie
Riešenie 1 – úvaha:
Autobus do krčmy musí prísť pred 20:30, čo je pravdepodobnosť \(\frac{2}{3}\). Autobus na šach musí prísť po 19:30, čo je pravdepodobnosť \(\frac{1}{2}\). V čase 19:30 až 20:30 majú oba autobusy rovnakú pravdepodobnosť skoršieho príchodu, t. j. \(\frac{1}{2}\).
Preto je pravdepodobnosť toho, že skôr príde autobus do krčmy: \(\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\).
Na šach pôjde Tonko s pravdepodobnosťou \(1-\frac{1}{6} =\frac{5}{6}\).
Riešenie 2 – geometria:
Podobne ako pri Dve záľuby 3, čas príchodu autobusov môžme považovať za usporiadanú dvojicu\(\{x, y\}\), kde \(x\) je čas príchodu autobusu na šach a \(y\) je čas príchodu autobusu do krčmy. Všetky možnosti tvoria obdĺžnik, ktorý je zobrazený na obrázku nižšie. Šrafovaná oblasť sú body, kde \(x < y\), t. j. keď autobus na šach príde skôr. (Oblasti sú oddelené priamkou (\( y= x\).) Obsah nešrafovanej oblasti je \(\frac{1 \cdot 1}{2}=\frac{1}{2}\), obsah celého obdĺžnika je \(2\cdot1,5=3\). Preto autobus do krčmy príde s pravdepodobnosťou \(\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}\).
Riešenie 3 – veľká matematika:
Podobne ako pri Dve záľuby 3:
Pravdepodobnosť, že prvý príde autobus do krčmy je
$$\int_1^{2,5}\frac{1}{ 1,5} \int_{\min (y,2)}^2 \frac{1}{2} \, dx \, dy= \int_1^2 \frac{1}{ 1,5}\int_y^2 \frac{1}{2} \, dx \, dy + \underbrace{{\int_2^{2,5}\frac{1}{ 1,5} \int_2^2 \frac{1}{2} \, dx \, dy}}_0=\frac{1}{6}$$
Pretože autobus na šach nemôže prísť po 2. hodine, tak je použité \(\min (y,2)\). Môžeme to rozložiť na súčet dvoch integrálov (\(\int_1^2\) a \(\int_2^2,5\)). Všimneme si, že ten druhý je \(0\).
Pravdepodobnosť, že prvý príde autobus na šach je
$$\int_0^2 \frac{1}{2} \int_{\max (y,1)}^{2,5} \frac{1}{1,5} \, dx \, dy= \underbrace{{\int_0^1 \frac{1}{2} \int_1^{2,5} \frac{1}{1,5} \, dx \, dy}}_{\frac{1}{2}}+\int_1^2 \frac{1}{2} \int_y^{2,5} \frac{1}{1,5} \, dx \, dy=\frac{5}{6}$$
Pretože autobus do krčmy nemôže prísť 1. hodinu, tak je použité \(\max (y,1)\). Môžeme to rozložiť na súčet dvoch integrálov (\(\int_0^1\) a \(\int_1^2\)). Všimneme si, že ten prvý je \(\frac{1}{2}\).
Riešenie 4 – simulácia:
Podobne ako pri Dve záľuby 3 môžeme použiť simuláciu. Nechal som to na ChatGPT – zaujímavé, že hodiny previedol na minúty – zbytočne, záleží len na pomere dĺžky časov. Ale inak OK. A donútil som ho nech to robí vektorovo a nesimuluje to po jednom.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 |
import numpy as np # Počet simulácií n = 1000000 # Intervaly príchodov v minútach time_A_start = 1110 # 18:30 time_A_end = 1230 # 20:30 time_B_start = 1170 # 19:30 time_B_end = 1260 # 21:00 # Generovanie náhodných časov príchodov pre oba autobusy arrival_A = np.random.uniform(time_A_start, time_A_end, n) arrival_B = np.random.uniform(time_B_start, time_B_end, n) # Porovnanie príchodov A_first = np.sum(arrival_A < arrival_B) B_first = np.sum(arrival_B < arrival_A) same_time = np.sum(arrival_A == arrival_B) # Výpočet pravdepodobností P_A_first = A_first / n P_B_first = B_first / n P_same_time = same_time / n print(f"Pravdepodobnosť, že autobus A príde skôr: {P_A_first:.4f}") print(f"Pravdepodobnosť, že autobus B príde skôr: {P_B_first:.4f}") print(f"Pravdepodobnosť, že prídu súčasne: {P_same_time:.4f}") |