Janko a Marián hrajú na námestí nasledujúcu hru: Janko má balíček pokerových kariet (52 kariet, hodnoty: 2, 3, 4, …, 10, J, Q, K, A; každá hodnota je v štyroch farbách:♦ ♥ ♣ a ♠). Pred každou hrou sú dobre zamiešané. Marián si po zaplatení 1 piva vytiahne náhodnú (ktorúkoľvek z balíčka) kartu. Ak je to eso (A), tak mu Janko zaplatí 13 pív.
Maroško to už nejaký čas sleduje a zdá sa mu, že Marián vyhráva. Aj on chce zarobiť, tak navrhne, že si to zahrá aj on. Janko súhlasí, ale že hra bude mierne iná. Po zaplatení 1 piva bude Maroško postupne náhodne ťahať karty (kdekoľvek z balíčka) až kým nepotiahne eso. Karty (ani eso) do balíčka nevracia. Potom ťahá už iba jedenkrát (opäť náhodne) a ak vytiahne ďalšie eso, tak dostane od Janka 13 pív.
Napríklad:
Karty boli A♠, A♥ – Maroško vyhral.
Karty boli J♣, J♠, Q♠, A♣, A♠ – Maroško vyhral.
Karty boli Q♠, A♥, J♥ – Maroško prehral.
Kto je na tom lepšie Janko alebo Marián?
Kto je na tom lepšie Janko alebo Maroško?
Kto je na tom lepšie Maroško alebo Marián?
Táto úloha je voľným pokračovaním úloh Spravodlivá hra, Spravodlivá hra 2, Spravodlivá hra 3, Spravodlivá hra 4 – 50 odtieňov rizika, Spravodlivá hra 5, Spravodlivá hra 5.2, Spravodlivá hra 6, Spravodlivá hra 7.
Riešenie
Marián má výpočet ľahký, \(4\) esá z \(52\) kariet, pravdepodobnosť je:\(\frac{4}{52}= \frac{1}{13}\doteq0.\overline{076923}\). Takže je na tom rovnako ako Janko.
Maroško má, asi prekvapujúco, rovnakú pravdepodobnosť výhry. Pozrime sa na všetky možnosti vytiahnutia prvých dvoch es za sebou. V zátvorke je pravdepodobnosť dvoch es:
Ak sú esá ťahané ako prvé (\(0\) kariet pred nimi), tak je pravdepodobnosť: \(\left(\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}\right)\).
Ak je pred nimi \(1\) karta, tak je pravdepodobnosť: \( \frac{48}{52}\cdot\left(\frac{4}{51}\cdot\frac{3}{50}\right)\).
Ak sú pred nimi \(2\) karty, tak je pravdepodobnosť: \( \frac{48}{52}\cdot\frac{47}{51}\cdot\left(\frac{4}{50}\cdot\frac{3}{49}\right)\).
Ak sú pred nimi \(3\) karty, tak je pravdepodobnosť: \( \frac{48}{52}\cdot\frac{47}{51}\cdot\frac{46}{50}\cdot\left(\frac{4}{49}\cdot\frac{3}{48}\right)\).
atď. až
Ak je pred nimi \(48\) kariet (tu by bol veľmi dlhý riadok): \(\frac{48}{52}\cdot\frac{47}{51}\cdot \ldots \cdot \frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{4}{4}\cdot\frac{3}{3}\right)\).
Poznámka: V poslednom prípade je pravdepodobnosť v zátvorke \(1\), pretože všetky \((48)\) ne-esové karty sú už vytiahnuté a musia nasledovať esá.
A celková pravdepodobnosť je súčet týchto \(49\) pravdepodobností. Súčet zaberá dosť miesta a je neprehľadný. Preto sa namiesto neho používa zápis:
$$\sum_{i=0}^{48}\frac{4}{52-i}\cdot\frac{3}{51-i}\cdot \prod_{k=0}^{i-1} \frac{48-k}{52-k} =\frac{1}{13}\doteq0.\overline{076923}$$
Výpočet je snáď jasný, ale bolo by fajn chápať prečo je to tak, že pravdepodobnosť esa v 1. ťahu je rovnaká ako pravdepodobnosť, že 1. a 2. eso padnú (niekde) za sebou. Pomôže znalosť z úlohy Spravodlivá hra 7 a komutatívny zákon. Poprehadzujeme troška čitatele v šedej oblasti:
\begin{align}
\left(\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}\right)&=\left(\frac{4}{52}\right)\cdot\left(\frac{3}{51}\right)\\
\frac{48}{52}\cdot\left(\frac{4}{51}\cdot\frac{3}{50}\right)&=\left(\frac{4}{52}\right)\cdot\frac{48}{51}\cdot\left(\frac{3}{50}\right)\\
\frac{48}{52}\cdot\frac{47}{51}\cdot\left(\frac{4}{50}\cdot\frac{3}{49}\right)&=\left(\frac{4}{52}\right)\cdot\frac{48}{51}\cdot\frac{47}{50}\cdot\left(\frac{3}{49}\right)\\
\frac{48}{52}\cdot\frac{47}{51}\cdot\frac{46}{50}\cdot\left(\frac{4}{49}\cdot\frac{3}{48}\right)&=\left(\frac{4}{52}\right)\cdot\frac{48}{51}\cdot\frac{47}{50}\cdot\frac{46}{49}\cdot\left(\frac{3}{48}\right)\\
\ldots&=\ldots\\
\frac{48}{52}\cdot\frac{47}{51}\cdot \ldots \cdot \frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{4}{4}\cdot\frac{3}{3}\right)&=\left(\frac{4}{52}\right)\cdot\frac{48}{51}\cdot \frac{47}{50}\cdot \ldots \cdot \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{3}\right)\end{align}
To, čo sme dostali je pravdepodobnosť, že po ese v 1. ťahu bude ďalšie eso vytiahnuté v 2., 3., 4., … 50. ťahu. Sú to všetky možnosti 2. esa. Preto súčet pravdepodobností po \(\left(\frac{4}{52}\right)\) musí byť \(1\) a celková pravdepodobnosť je \(\left(\frac{1}{13}\right)\).
Inou možnosťou výpočtu je využiť upravený vzorček z Spravodlivá hra 5.2:
- Nech \(t\) je počet všetkých kariet – môžu byť umiestnené \(t!\) spôsobmi (poradie).
- Nech \(a\) je počet všetkých es, môžu byť umiestnené \(a!\) spôsobmi (poradie).
- Ne-esá je možné umiestniť \((t−a)!\) spôsobmi (poradie).
- Nech \(n\) je pozícia prvého esa.
- Pre prvé eso sa môže vyskytnúť na pozícii \(1\) až \(t-a+1\).
- Posledné esá môžeme umiestniť \(\binom{t-n-1}{a-2}\) spôsobmi (pozície).
$$\sum_{n=1}^{t-a+1} \frac{a! (t-a)! \binom{t-n-1}{a-2}}{t!}$$
Vzorček sčituje jednotlivé pravdepodobnosti (1. eso je na 1. pozícii, 2. pozícii, …) a po zjednodušení dá výsledok \(\frac{a}{t}\).
Dá sa povedať, že Mariánovi stačí síce vytiahnuť iba jedno eso, ale musí byť prvé. Maroško musí síce vytiahnuť dve esá za sebou, ale môžu byť skoro kdekoľvek (pred nimi nesmie byť osamotené eso).