Táto úloha a Skladanie novín majú dačo spoločné.
Vynálezca šachu si želal za svoj objav ryžu. Na prvé políčko šachovnice sa malo dať 1 zrnko a na každé ďalšie políčko mal byť položený dvojnásobok zrniek oproti predchádzajúcemu políčku.
To znamená, že na prvé políčko chcel 1 zrnko ryže, na druhé 2 zrnká, na tretie 4 zrnká, potom 8, 16, 32, 64, 128, 256 a tak ďalej, až na 64. políčko.
Vládca sľúbil, že mu to nechá odviezť na karaváne tiav. Aká dlhá by bola taká karavána?
Riešenie
Odpoveď: Karavána by sa z Višňového tiahla až za Pluto (v perihéliu). Alebo inak, karavána by bola dlhšia ako 18x z Čadce k Slnku a naspäť.
Počty zrniek na jednotlivých políčkach sú mocniny čísla \(2: 2^0,2^1,2^3,2^4,2^5, \ldots, 2^{63}\) . Je to teda geometrická postupnosť s koeficientom 2.
Súčet prvých \(n\) členov geometrickej postupnosti vypočítame: \(s_n=a_1\times\frac{q^n-1}{q-1}\), kde \(q\) je koeficient, \(a_1\) je prvý člen.
Preto je celkový počet zrniek je \(2^{64}-1=18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615\).
V jednom kilograme ryže môže byť až \(50\ 000\) zrniek. Preto na šachovnici bude \(\frac{18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615}{50\ 000\ 000}\doteq 368\ 934\ 881\ 474\) ton ryže (takmer 369 miliárd ton). Pre porovnanie v roku 2022 sa vypestovalo skoro 800 miliónov ton ale v roku 1961 len 200 miliónov ton. Takže ryža na šachovnici by asi predčila celkovú produkciu od začiatku nášho letopočtu.
Jedna ťava odnesie približne 200 kg, t. j. 0,2 tony nákladu a meria asi 3 metre, t. j. 0,003 kilometra. Preto by bola karavána dlhá \(0,003 \times \frac{368\ 934\ 881\ 474}{0,2}\doteq 5\ 534\ 023\ 222\) kilometrov.
Ale ono je to všetko len teória, pretože toľko tiav (\( \frac{368\ 934\ 881\ 474}{0,2}\doteq 1\ 844\ 674\ 407\ 370\)) sa doteraz na Zemi nenarodilo (nieto ešte v rovnakom čase) a ak by karavána opúšťala brány Višňového rýchlosťou jedna ťava za sekundu, tak by posledná ťava odišla po viac ako \(58\ 000\) rokoch.