Sedemmíľové čižmy 3

Základné úvahy.

1. Na jeden let to nepôjde. Ak by natankoval 25kg perníka, tak by mal po prílete na cestičku 10kg perníka a už by nemal dosť perníka na cestu späť.
   • Preto musí niekde po ceste vytvoriť sklad, zložiť tam časť nádrže a vrátiť sa do chalúpky (možno viackrát) po ďalší perník. Možno bude musieť mať takých skladov viac. Označme sklady písmenami A, B, C, … Chalúpku môžeme považovať za prvý sklad, označme ho A.
2. Koľko natankovať pri spiatočnom lete?
   • Pre návrat do chalúpky (alebo do predchádzajúceho skladu) musí mať v nádrži perníka akurát. Ak by ho mal menej, tak by tam nedoletel a ak by mal viac, tak by zbytočne doniesol perník nazad. Ak by bol predchádzajúci sklad vzdialený 10km, tak treba v nádrži nechať 10kg perníka.
3. Koľko natankovať pri lete smerom domov?
   • Pri jednej ceste:
     • Ak natankuje 25kg perníka a odvezie ho 5km, tak dovezie 20kg za cenu 5kg.
     • Ak natankuje 15kg perníka a odvezie ho 5km, tak dovezie iba 10kg za cenu 5kg.
   • Alebo ak by sa mal vrátiť po zvyšok perníka:
     • Ak natankuje 25kg perníka, odvezie ho 5km a vráti sa, tak dovezie 15kg za cenu 10kg.
     • Ak natankuje 15kg perníka, odvezie ho 5km a vráti sa, tak dovezie iba 5kg za cenu 10kg.
   • Takže je jasné, že ak letí smerom domov, tak čím plnšia nádrž, tým efektívnejšia preprava. To by malo byť zrejmé aj z toho, že metla má rovnakú spotrebu bez ohľadu na hmotnosť nákladu. A je tiež jasné, že spiatočné lety sú menej efektívne ako jednosmerné.
4. Kde vytvoriť sklad/sklady?
   • Ideálny stav:
     • Ak by v chalúpke bolo ideálnych 100kg perníka, t. j. (4 x 25kg), tak by na jeho prevoz do nasledujúceho skladu bolo potrebných 7 letov = 4 + 3 spiatočné.
     • Ďalšie ideálne množstvo je 75kg, na prevoz do nasledujúceho skladu by bolo potrebných 5 letov = 3 + 2 spiatočné.
     • Ďalšie ideálne množstvo je 50kg, na prevoz do nasledujúceho skladu by boli potrebné 3 lety = 2 + 1 spiatočný.
     • Posledné ideálne množstvo je 25kg, čo je jeden let.
     • Teda, ak je v sklade množstvo, ktoré je násobkom nádrže, tak treba všetko odviezť daným počtom letov, tak aby v nasledujúcom sklade bol opäť ideálny stav s najbližším nižším počtom letov.
   • Neideálny stav:
     • Ak je v sklade 121kg perníka t. j. (4 x 25kg + 21kg), tak na jeho prevoz do nasledujúceho skladu treba 9 letov = 5 + 4 spiatočné. A pretože sa jedenkrát netankuje doplna, tak to podľa bodu 3 nebude efektívna preprava.
     • Teda, ak v sklade nie je množstvo, ktoré je násobok nádrže, tak sa treba dočasne zmieriť s neefektívnosťou a odvoziť všetko daným počtom letov na takú vzdialenosť, aby tam bolo ideálne množstvo perníka, t. j. násobok nádrže.
   • V oboch prípadoch, sklad vznikne tam, kde sa perník dosiahne násobok kapacity nádrže. To znamená menšie množstvo letov ako na predchádzajúcom úseku. Menší počet letov znamená menší počet spiatočných letov a to znamená vyššiu efektivitu = väčšia vzdialenosť medzi skladmi..

Nasledujúci graf ukazuje kde sa sklady nachádzajú, koľko je v nich perníka a počet letov. Graf je dvojrozmerný, vodorovne je znázornená vzdialenosť skladov (a tam je uvedený počet letov) a zvislo množstvo perníka. Dĺžka úsečiek AB, BC, … nemá význam. Dôležitý je sklon. Čím je strmší, tým je efektivita prepravy horšia (viac spiatočných letov).

V chalúpke je 21kg perníka navyše oproti optimálnemu množstvu. Preto sklad B bude vo vzdialenosti \(21=9x\), čo je \(\frac{7}{3}=2,\overline{33}\)km.

V sklade B je 100kg perníka, najbližší nižší násobok kapacity nádrže je 75kg. Medzi skladmi B a C je 7 letov. Preto sklad C bude od skladu B vzdialený \(25=7x\), čo je \(\frac{25}{7}\doteq3,57\)km.

Sklad D bude od skladu C vzdialený \(25=5x\), čo je \(\frac{25}{5}=5\)km.

Sklad E by bol vzdialený od skladu D \(25=3x\), čo je \(\frac{25}{3}=8,\overline{33}\)km. To by už bolo za 15km hranicou. Preto od 50kg odčítame trikrát cestu DE: \(50-3 \left(15-\left(\frac{21}{9}+\frac{25}{7}+\frac{25}{5}\right)\right)=\frac{264}{7}\doteq37.7143\)kg

Postup možno zovšeobecniť: