V mravenisku sa na šachový turnaj prihlásilo 16 mravcov. Jedna polovica z nich sú profesionáli (vedia hrať veľmi dobre) a ostatné sú amatéri (snažia sa, ale márne). Ak hrajú spolu profesionáli, tak sa dohodnú na remíze. Ak hrajú spolu amatéri, tak to skončí remízou tiež, pretože nedokážu dať mat. Ak hrá profesionál s amatérom, tak profesionál vyhrá.
Šachové turnaje sa hrajú tak, že všetci súťažiaci hrajú naraz. V tomto prípade by hralo v 1. kole naraz 8 dvojíc, v 2. kole zasa naraz iných 8 dvojíc, atď. A po 15 kolách by sa stretol za šachovnicou každý s každým.
Ale v mravenisku majú iba jedinú šachovnicu, takže musia hrať postupne. Na prvý zápas vybrali náhodne (každý zo 16 súťažiacich mal rovnakú pravdepodobnosť vylosovania) dvoch borcov.
Aká je pravdepodobnosť, že partia skončí výhrou jedného hráča?
Táto úloha je voľným pokračovaním úloh Mravce – šprintéri, Mravce – maratónci a Mravce a dúha.
Riešenie
Označme \(p\) – počet profesionálov a \(a\) – počet amatérov.
Pravdepodobnosť, že sa stretne profesionál a amatér je
\(\frac{p}{a+p}\cdot \frac{a}{a+p-1}=\frac{8}{8+8}\cdot \frac{8}{8+8-1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{15}\)
Pravdepodobnosť, že sa stretne amatér a profesionál je
\(\frac{a}{a+p}\cdot \frac{p}{a-1+p}=\frac{8}{8+8}\cdot \frac{8}{8-1+8}=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{15}\)
V takýchto výpočtoch sa často zabúda na to, že sú dve možnosti: profesionál proti amatérovi a amatér proti profesionálovi. Pri šachu je hráč, ktorý hrá bielymi uvedený prvý, rovnako ako pri futbale domáce mužstvo. A súčet týchto dvoch pravdepodobností je \(\frac{8}{15}=0,5\overline3\).
Pravdepodobnosť, že bude remíza je samozrejme \(1-P_{vyhra}=\frac{7}{15}=0,4\overline6\), ale vieme to vypočítať aj obdobným spôsobom pravdepodobnosť výhry.
Pravdepodobnosť, že sa stretnú dvaja profesionáli:
\(\frac{p}{a+p}\cdot \frac{p-1}{a+p-1}=\frac{8}{8+8}\cdot \frac{8-1}{8+8-1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{15}\)
Pravdepodobnosť, že sa stretnú dvaja amatéri:
\(\frac{a}{a+p}\cdot \frac{a-1}{a-1+p}=\frac{8}{8+8}\cdot \frac{8-1}{8-1+8}=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{15}\)
Sčítaním týchto dvoch pravdepodobností dostaneme \(P_{remiza}=\frac{7}{15}=0,4\overline6\).