Úloha 1: Tabuľka ukazuje percentuálny nárast/pokles zárobkov, ktoré Janko dosiahol za rok v porovnaní s predchádzajúcim rokom:
| 2016 | – |
| 2017 | +20% |
| 2018 | -20% |
| 2019 | -5% |
| 2020 | +50% |
| 2021 | -25% |
| 2022 | +50% |
Aký je priemerný ročný percentuálny nárast/pokles za sledované obdobie? (Inak povedané: Keby mal všetky roky rovnaký percentuálny nárast/pokles, koľko by to bolo aby sa zo stavu v roku 2016 dostal do roku 2022?) Ak si myslíte, že je to \(\frac{20+(-20)+(-5)+50+(-25)+50}{6}\doteq11,\overline{66}\), tak sa mýlite.
Úloha 2: Ferko si konečne zajazdil na F1. Celé dve kolá. Prvé kolo mal priemernú rýchlosť 120 km/h, druhé 180 km/h. Aká bola jeho celková priemerná rýchlosť? Ak si myslíte, že je to \(\frac{120+180}{2}=150\), tak sa mýlite.
Úloha Človek – chobotnica taktiež súvisí s priemerom.
Riešenie
Mnoho ľudí (ak nie veľká väčšina) vie, že existuje aritmetický priemer. Napríklad, ak Janko zje dva langoše a Danko žiaden, tak v priemere zjedli po jednom. Podobne je to s výplatou, výškou, najazdenými kilometrami za rok, či počtom detí.
Mnoho ľudí (ak nie veľká väčšina) nevie, že sú aj iné priemery. V úlohe 1 nemožno použiť aritmetický priemer. Zoberme si pre jednoduchosť len pohyb v rokoch 2017 a 2018, teda +20% a -20%. Aritmetický priemer je 0, čo je nezmysel, pretože to nevyjadruje priemerný nárast/pokles. Amatéri tú 0 chápu akože sa v priemere nič nezmenilo – raz sa navýšil a potom o to isté percento znížil, takže NULA. To je skoro tragický omyl. Porovnáva sa nárast/pokles s predchádzajúcim rokom. A ak zvýšim napríklad 100€ o 20%, tak dostaneme 120€. A keď v ďalšom roku 120€ znížime o 20%, tak dostaneme 96€.
Je to vo všeobecnosti \(1,2\times0,8=0,96=96\%\). A je jedno, či najskôr zvýšite a potom znížite alebo najskôr znížite a potom zvýšite, násobenie je komutatívne – t. j. nezáleží na poradí.
Ak potrebujeme vypočítať konštantné percento rastu/poklesu musíme v takomto prípade použiť geometrický priemer. Teda v tomto mini-príklade musíme pre priemernú výšku poklesu vypočítať druhú odmocninu zo súčinu, ktorý je vyššie: \(\sqrt{1,2\times0,8}=0,979… \doteq-2,02\%\).
V pôvodnom príklade dostaneme priemerný nárast \(\sqrt[6]{1,2\times0,8\times0,95\times1,5\times0,75\times1,5}=1,0745…\doteq7,45\%\).
Nasledujúca tabuľka porovnáva použite geometrického a aritmetického priemeru. Napríklad, ak v roku 2016 zarobil 20 000€. Vidno, že v roku 2022 sa výška reálneho zárobku až na chybu zaokrúhľovania rovná zárobku dosiahnutého zvyšovaním o geometrický priemer. Aritmetický priemer je úplne mimo.
| Reálny pohyb | Konštantný GP 7,45% | Konštantný AP 11,67% | ||
| 2016 | – | 20 000 | 20 000,00 | 20 000,00 |
| 2017 | +20% | 24 000 | 21490,00 | 22 334,00 |
| 2018 | -20% | 19 200 | 23091,00 | 24 940,38 |
| 2019 | -5% | 18 240 | 24811,28 | 27 850,92 |
| 2020 | +50% | 27 360 | 26659,73 | 31 101,12 |
| 2021 | -25% | 20 520 | 28645,88 | 34 730,62 |
| 2022 | +50% | 30 780 | 30779,99 | 38 783,69 |
V úlohe 2 opäť drvivá väčšina ľudí použije aritmetický priemer. Ak by úloha znela: Ferko išiel 5 minút rýchlosťou 120km/h a 5 minút 180km/h, aká je priemerná rýchlosť? Tak odpoveď by bola 150 km/h. Teda, ak by šiel oboma priemernými rýchlosťami rovnaký čas, tak by bolo správne použiť aritmetický priemer.
Ale on šiel rovnakú dráhu (trať) obe kolá. V prvom kole šiel pomalšie, strácal celkovú priemernú rýchlosť. V druhom kole šiel rýchlejšie, tak zarábal celkovú priemernú rýchlosť. Bohužiaľ v druhom kole jazdil kratšie, takže zarábal kratšie ako strácal v prvom kole. Dá sa to jednoducho vyrátať aj pri znalosti základnej fyziky: \(s=v\cdot t\).
\(s=v_1\cdot t_1\) a \(s=v_2\cdot t_2\)
Priemerná rýchlosť z oboch kôl je \(\frac{2 s}{t_1+t_2}\), teda:
\(\frac{2 s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}\), skrátime \(s\) a zbavíme sa poschodí v zlomku:
\(\frac{2\cdot v_1\cdot v_2}{v_1 + v_2}=\frac{2 \cdot120\cdot180}{120 + 180}=144\)km/h.
To čo sme dostali po úpravách o riadok vyššie: \(\frac{2\cdot x\cdot y}{x + y}\) je vzorec pre výpočet harmonického priemeru dvoch hodnôt.