Mr. Fisher sa chváli, že jeho najnovšie hodinky majú super ručičky, ktoré sa nepohybujú skokovo (tiktak), ale plynulo. Niečo také, ako v odkaze na YouTube. Samozrejme v jeho hodinkách majú taký plynulý pohyb všetky tri ručičky.
Mr. Slim-a to ohromilo a opýtal sa, či keď sa pohybujú tak plynulo, či môžu niekdy byť v pozícii, že je medzi nimi 120° (tvoria symbol Mercedes, môže byť aj pootočený). A ak áno, tak aký čas vtedy ukazujú.
Mr Fisher nevedel. Snáď to ale niekto zistí.
Táto úloha je voľným pokračovaním úlohy Hodinky.
Riešenie
Nech sú všetky ručičky na začiatku na dvanástke a nech želaná udalosť nastane o \(x\) hodín (napríklad \(x= 11,638333\) je cca \(11\) hodín \(38\) minút \(18\) sekúnd, čo je skoro hľadaná pozícia).
Dôležité si je uvedomiť, že \(x\) nemôže byť celé číslo, pretože celý počet hodín znamená, že hodinová aj sekundová ručička budú na dvanástke. Taktiež vieme, že \(0< x<12\), pretože po dvanástich hodinách sa situácia opakuje.
Potrebujeme zistiť, kde sa budú v čase \(x\) nachádzať na ciferníku jednotlivé ručičky:
Hodinová ručička bude mať v čase \(x\) uhol \(\alpha=\frac{x}{12}\cdot 360°= 30°\cdot x\).
Minútová ručička obíde ciferník za hodinu, preto za \(x\) hodín bude jej uhol \(\beta = 360°\cdot x\).
Sekundová ručička obíde ciferník za minútu, za hodinu ho obehne šesťdesiatkrát. Teda za \(x\) hodín bude jej uhol \(\gamma=60\cdot 360°\cdot x\).
Minútová ručička môže byť 120° pred alebo za hodinovou ručičkou.
\begin{align}\beta -\alpha &= 360°\cdot k \pm 120°\\
330°\cdot x&= 360°\cdot k \pm120°\\
11°\cdot x&=12°\cdot k\pm4°\\
\end{align}
V rovnici je použité \(360°\cdot k\ \) pretože minútová ručička mohla obehnúť ciferník \(k\)krát, \(k\) je celé kladné číslo \((1, 2, 3, …, 11)\).
Napravo od znaku rovnosti je celé číslo, preto aj vľavo musí byť celé číslo. Sú iba dve možnosti:
- Počet hodín \(x\) je celé číslo, to ale nevyhovuje kvôli ručičkám na dvanástke.
- Preto \(x\) musí byť zlomok s menovateľom 11 (aby sa 11 vykrátilo), teda \(x=\frac{a}{11}\), kde \(a\) musí byť celé číslo.
Sekundová ručička môže byť 120 stupňov pred alebo za minútovou ručičkou.
\begin{align}\gamma -\beta&= 360°\cdot m \pm 120°\\
60\cdot 360°-330°\cdot x&= 360°\cdot m \pm120°\\
59\cdot 360°\cdot x&= 360°\cdot m \pm120°\\
59\cdot3°\cdot x&=3°\cdot m\pm1°\\
177°\cdot x&=3°\cdot m\pm1°\\
\end{align}
Podobne ako vyššie. Napravo od znaku rovnosti je celé číslo, preto aj vľavo musí byť celé číslo. Sú iba dve možnosti:
- Počet hodín \(x\) je celé číslo, to ale nevyhovuje kvôli ručičkám na dvanástke.
- Preto \(x\) musí byť zlomok s menovateľom 177 (aby sa 177 vykrátilo), teda \(x=\frac{b}{177}\), kde \(b\) musí byť celé číslo.
Vieme, že \(x=\frac{a}{11}=\frac{b}{177}\), teda \(177\cdot a=11\cdot b\). Pravá strana je deliteľná číslom \(11\), preto aj ľavá strana musí byť deliteľná \(11\). Číslo \(177\) nie je deliteľné číslom \(11\). Preto \(11\) musí deliť číslo \(a\). To ale znamená, že \(x=\frac{a}{11}\) je celé číslo a sekundová a minútová ručička sú na dvanástke.
Preto pozícia ručičiek vzdialenými od seba 120° nie je možná. Dokonca ani na hodinkách Mr. Fisher-a.