Na Krátkej ulici je všetkých päť domov na jednej strane ulice.
V každom dome býva aspoň jeden človek.
Všetci hrajú šach, ale za súperov si vyberajú iba obyvateľov svojho alebo susedných domov.
Vieme, že každý na ulici má buď sedem alebo dvanásť možných súperov.
Koľko ľudí býva na Krátkej ulici?
Riešenie
Označme počet obyvateľov v domoch postupne \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\).
Označme počet súperov pre hráča z prvého domu \(X\) a z druhého domu \(Y\):
\(X=(a_1-1)+a_2\)
\(Y=a_1+(a_2-1)+a_3\)
Pretože hodnoty X, Y môžu byť iba 7 a 12, tak sú iba štyri možnosti:
- \(X=Y=7\)
- \((a_1-1)+a_2 =a_1+(a_2-1)+a_3\)
- \(0=a_3\), to ale odporuje podmienke, že v každom dome niekto býva.
- \(X=Y=12\)
- Rovnaký spor ako vyššie.
- \(X=12,Y=7\)
- \((a_1-1)+a_2 -5=a_1+(a_2-1)+a_3\)
- \(-5=a_3\), to odporuje realite
- \(X=7,Y=12\)
- \((a_1-1)+a_2 +5=a_1+(a_2-1)+a_3\)
- \(5=a_3\), to by šlo a je to jediná možnosť
Teda platí:
\((a_1-1)+a_2 =7\), preto
\(a_1+a_2 =8\)
Situácia od konca je rovnaká – je to symetrické \((a_1=a_4, a_2=a_5)\), preto počet obyvateľov na Krátkej ulici je
\(2\cdot (a_1+a_2)+a_3=21\)