Táto úloha je pokračovaním úlohy Dve záľuby.
Tonko sa vracia domov náhodne a všimol si, že sa málokedy stane, že príde na zastávku zároveň s autobusom. O veľa častejšie musí čakať a veľakrát sa aj stalo, že mu autobus ušiel pred nosom. Nikoho nebaví nečinne čakať, a tak si kráti čas rozmýšľaním. Naposledy dumal, ako sa líši priemerná čakacia doba ak mu autobus ujde pred nosom od tej, keď mu autobus neujde. Pretože je jasné, že keď autobus chodí napríklad každých 10 minút, tak priemerná doba čakania je 5 minút (raz príde skôr, inokedy neskôr, v priemere 5 minút). Ale keď ho tesne nestihne, čaká celých nekonečných 10 minút.
Pravidlá: Autobusy domov mu chodia zovšadiaľ rovnako. Najskôr idú 3 autobusy v 10 minútových intervaloch. Potom ide autobus až o 70 minút. A celé sa to opakuje. Autobusy chodia vždy presne podľa cestovného poriadku. Tonko môže prísť na zastávku v ľubovoľnom čase s rovnakou pravdepodobnosťou.
Otázka 1: Tonkova priemerná čakacia doba je
- väčšia než
- menšia než
- rovnaká ako
jeho priemerná doba čakania keď mu autobus ujde pred nosom?
Otázka 2: Ako by sa zmenili priemerné čakacie doby ak by sa niektoré autobusy poprehadzovali?
Malo by byť jasné, že v našom prípade sa nedajú autobusy poprehadzovať, vždy pôjdu 3×10min, 1×70min. (2×10min, 1×70min, 1×10min nie je zmena, pretože po 1×10min sa ide odznova 2×10min, čo dá pôvodné 3×10min.)
Ale ak by napríklad chodili 10×4min, 5×12min, 1×60min, tak by sme ich mohli poprehadzovať napríklad 4×4min, 2×12min, 1×60min, 6×4min, 3×12min. Ovplyvnilo by to priemerné čakacie doby?
Otázka 3: Existujú také cestovné poriadky, že by ste odpovedali na 1. otázku inak? (inak povedané: existuje cestovný poriadok pre každú odpoveď z otázky 1?)
Riešenie
Už z minulej úlohy vieme, že stačí uvažovať najmenší interval, ktorý sa rovnomerne opakuje.
Priemerná doba čakania ak mu autobus ujde pred nosom:
Môže sa to stať v štyroch prípadoch. V troch čaká 10 minút a v jednom čaká 70 minút.
\(\frac{3}{4}\cdot 10+\frac{1}{4} \cdot 70 = 25\) minút.
“Normálna” priemerná doba čakania:
V 10 minútovom intervale sa v priemere čaká 5 minút a v 70 minútovom 35 minút.
V 70 minútovom intervale čaká Tonko v 70% prípadoch, pretože celkový čas je 100 minút.
V 10 minútovom intervale čaká Tonko v 30% prípadoch.
Preto \(\frac{7}{10} \cdot 35 + \frac{3}{10} \cdot 5 = 26\) minút.
Kontraintuitívne, v priemere Tonko čaká kratšie ak mu ujde autobus pred nosom.
Ako by sa zmenili priemerné čakacie doby ak by sa niektoré autobusy poprehadzovali?
Nijako. Dôležité sú celkové doby a počty daných intervalov.
\(\frac{a+b}{c}\cdot x = \frac{a}{c} \cdot x+\frac{b}{c} \cdot x=\frac{b}{c} \cdot x+\frac{a}{c} \cdot x \)
V uvedenom príklade sú priemery 10 a 14 a jedno ako poradie autobusov poprehadzujeme.
Existuje cestovný poriadok pre každú odpoveď z otázky 1?
Áno
4×5, 1×30 majú oba priemery 10 minút.
5×6, 1×30 majú priemery 10 a 9 minút.