Janko a Marián hrajú na námestí nasledujúcu hru: Pred každou hrou Marián povie (po zaplatení 1 piva) koľkokrát bude Janko hádzať štvorstennou “kockou” (čísla 1, 2, 3, 4). Ak uhádne, tak dostane pivá dve.
- Janko hodí minimálne jedenkrát.
- Ak pri prvom hode padne aspoň 2, tak hádže aj druhýkrát, inak je koniec.
- Ak pri druhom hode padne aspoň 3, tak hádže aj tretíkrát, inak je koniec.
- A ak pri treťom hode padne aspoň 4, tak hádže aj štvrtýkrát, inak je koniec.
- 5 hodiť nemôže, tak päťkrát hádzať nemôže.
Vo všeobecnosti platí: ak Janko hodí v n-tom hode aspoň (n + 1), tak hádže znova. Ak hodí v n-tom hode menej ako (n + 1), tak hra končí.
Napríklad:
Marián tipol 3 hody a Janko hodil 3, 4, 2 – vyhral.
Marián tipol 3 hody a Janko hodil 4, 2 – prehral.
Marián tipol 3 hody a Janko hodil 1 – prehral.
Maroško to už nejaký čas sleduje a zdá sa mu, že Marián vyhráva. Aj on chce zarobiť, tak navrhne, že si to zahrá aj on. Janko súhlasí, ale že budú hrať s klasickou šesťstennou kockou. Teda Janko môže hádzať 1 až 6 krát. Ak Maroško tipne správne počet hodov, tak mu Janko vyplatí tri pivá. Za hru sa platí 1 pivo.
Kto by celkovo vyhral a koľko by (v priemere) vyhral pri štvorstennej kocke, ak by hrali túto hru 1 000 krát?
Kto by celkovo vyhral a koľko by (v priemere) vyhral pri klasickej kocke, ak by hrali túto hru 1 000 krát?
Predpoklad: Marián aj Maroško budú hrať ideálne.
Táto úloha je voľným pokračovaním úloh Spravodlivá hra, Spravodlivá hra 2, Spravodlivá hra 3, Spravodlivá hra 4 – 50 odtieňov rizika, Spravodlivá hra 5 a Spravodlivá hra 5.2.
Riešenie
Marián
- Pravdepodobnosť, že bude presne jeden hod: V prvom hode musí padnúť \(1\), t. j. \(\frac{1}{4}=0,25\).
- Pravdepodobnosť, že budú presne dva hody: Prvý hod musí byť viac ako \(1\) a v druhom hode musí padnúť menej ako \(3\), t. j. \(\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{8}= 0,375\).
- Pravdepodobnosť, že budú presne tri hody: Prvý hod musí byť viac ako \(1\), v druhom hode musí padnúť \(3\) alebo \(4\) a v treťom hode nesmie padnúť \(4\), t. j. \(\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{32}= 0,28125\).
- Pravdepodobnosť, že budú presne tri hody: Prvý hod musí byť viac ako \(1\), v druhom hode musí padnúť \(3\) alebo \(4\) a v treťom hode musí padnúť \(4\), t. j. \(\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{32}= 0,09375\).
Súčet je \(1\), tak je to asi OK.
Marián má najväčšiu šancu vyhrať ak bude tipovať 2 hody. Vtedy prehrá v priemere pri 1 000 hrách: \(1000\ – 2 \cdot \frac{3}{8}\cdot 1000=250\)pív.
Maroško
Podobnou úvahou zistíme, že pravdepodobnosti pre klasickú kocku pre jednotlivý počet hodov sú:
- 1 hod \(\frac{1}{6}\doteq 0.166667\),
- 2 hody \(\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{5}{18}\doteq 0.277778\),
- 3 hody \(\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{6}=\frac{5}{18}\doteq 0.277778\),
- 4 hody \(\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{4}{6}=\frac{5}{27}\doteq 0.185185\),
- 5 hodov \(\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{324}\doteq 0.0771605\),
- 6 hodov \(\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{5}{324}\doteq 0.0154321\).
Súčet je \(1\), tak je to asi OK.
Maroško má najväčšiu šancu vyhrať ak bude tipovať 2 alebo 3 hody. Vtedy prehrá v priemere pri 1 000 hrách: \(1000\ – 3 \cdot \frac{5}{18}\cdot 1000\doteq167\)pív.