Dve záľuby 3

1. otázka, riešenie 1 – úvaha:

Autobus na šach chodí každých 5 minút, preto bude Tonko čakať maximálne 5 minút. Autobus do krčmy príde do 5 minút s pravdepodobnosťou \(\frac{5}{7}\). A ak príde do 5 minút, tak je 50% pravdepodobnosť, že príde skôr ako autobus na šach. Preto pôjde Tonko do krčmy s pravdepodobnosťou \(\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{14}= 0,35\overline{714285}\).
Na šach pôjde s pravdepodobnosťou \(1-\frac{5}{14} =\frac{9}{14}\). Alebo inak: \(\frac{5}{14}\) (rovnaká pravdepodobnosť ako autobus do krčmy ak tento príde do 5 minút) \(+\frac{2}{7}\)(ak nepríde do 5 minút)

---

1.otázka, riešenie 2a – geometria:

Čas príchodu autobusov môžme považovať za usporiadanú dvojicu\(\{x, y\}\), kde \(x\) je čas príchodu autobusu na šach a \(y\) je čas príchodu autobusu do krčmy. Všetky možnosti tvoria obdĺžnik, ktorý je zobrazený na obrázku nižšie. Napríklad bod \(Z\) zobrazuje situáciu, keď autobus na šach príde v o 3 minúty a autobus do krčmy o 1 minútu od Tonkovho príchodu na zastávku. Šrafovaná oblasť sú body, kde \(x < y\), t. j. keď autobus na šach príde skôr. (Oblasti sú oddelené priamkou (\( y= x\).) Obsah nešrafovanej oblasti je \(\frac{25}{2}\), obsah celého obdĺžnika je \(35\). Preto autobus do krčmy príde s pravdepodobnosťou \(\frac{\frac{25}{2}}{35}=\frac{5}{14}\).

1.otázka, riešenie 2b – geometria:

Ak by oba autobusy chodili, každých 5 minút (zelený štvorec) čiarkovaná diagonála \(OA\) by možnosti rozdelila na dve rovnaké plochy – bola by 50% šanca pre každý autobus. Ak uvažujeme autobusy s frekvenciou 5 a 7 minút, tak diagonála \(OB\) rozdelí dvojfarebný obdĺžnik tiež na dve rovnaké plochy. Ale horný (oranžový) obdĺžnik nespĺňa limit 5 minút. Preto porovnáme len plochy, ktoré diagonála \(OB\) určila v zelenom štvorci. Šrafovaná oblasť je trojuholník s obsahom \(\frac{\frac{25}{7}\cdot 5}{2}=\frac{125}{14}\). Ak túto plochu vydelíme plochou štvorca \((25)\) dostaneme \(\frac{5}{14}\).

---

1.otázka, riešenie 3 – veľká matematika:

Riešenia 1 a 2 sú ľahko pochopiteľné a pre dva autobusy plne postačujúce. Ak by bolo autobusov napríklad 5, tak by úvahy boli komplikované a neprehľadné a obrázky by sa nedali ani nakresliť. Preto je super, že niekto objavil integrály. Ukážeme si, ako by vyzeralo ich použitie pre našu úlohu.

Asi najzrozumiteľnejší je zápis dvojným integrálom. Chceme zistiť pravdepodobnosť toho, že Tonko pôjde do krčmy. Nech \(y\) je čas príchodu autobusu do krčmy, môže byť z intervalu \([0,5]\), čas \(5\) až \(7\) je nepodstatný. Čas príchodu autobusu na šach označme \(x\), ten je z intervalu \([y, 5]\) – autobus na šach musí prísť až po čase \(y\). Nasledujúci zápis hovorí, že každému \(y\) nájdeme pravdepodobnosť toho, že \(x\) bude väčšie a všetky tie pravdepodobnosti sčítame. To, že autobusy chodia každých \(7\) a \(5\) minút je vo výraze zadané ako \(\frac{1}{7}\) a \(\frac{1}{5}\). Sú to takzvané hustoty (v tomto prípade rovnomerného) rozdelenia.

\(\int_0^5 \frac{1}{7} \int_y^5\frac{1}{5}\, dx\, dy =\frac{5}{14}\)

a obdobne pravdepodobnosť pre autobus na šach:

\(\int_0^5 \frac{1}{5} \int_x^7\frac{1}{7}\, dy\, dx =\frac{9}{14}\)

Ak by boli 3 autobusy s intervalmi 6, 7 a 8 minút, tak pravdepodobnosť, že prvý príde 8 minútový autobus by sme vypočítali:

\(\int_0^6 \frac{1}{8} \int_t^6 \frac{1}{6} \int_t^7 \frac{1}{7} \, dx \, dy \, dt= \frac{15}{56}\)

---

Dá sa to aj inak. Pravdepodobnosť, že autobus na šach príde do času \(t\) popisuje kumulatívna funkcia \(s(t)=\frac{t}{5}\), kde čas \(t\in[0,5]\). Takáto funkcia sa v štatistike nazýva CDF. Podobne pravdepodobnosť, že autobus do krčmy príde do času \(t\) popisuje funkcia \(k(t)=\frac{t}{7}\), kde čas \(t\in[0,7]\).

Výpočet pravdepodobnosti, že prvý príde autobus do krčmy je integrál na intervale \([0, 5])\) zo súčinu pravdepodobnosti príchodu autobusu do krčmy \(\left(\frac{1}{7}\right)\) a pravdepodobnosti, že autobus na šach dovtedy nepríde (1 – CDF).

\(\int_0^5 \frac{1}{7} \left(1-\frac{t}{5}\right)\, dt= \frac{5}{14}\)

a obdobne pravdepodobnosť pre autobus na šach:

\(\int_0^5 \frac{1}{5} \left(1-\frac{t}{7}\right)\, dt= \frac{9}{14}\)

Ak by boli 3 autobusy s intervalmi 6, 7 a 8 minút, tak pravdepodobnosť, že prvý príde 8 minútový autobus by sme vypočítali:

\(\int_0^6 \frac{1}{8} \left(1-\frac{t}{6}\right)\left(1-\frac{t}{7}\right)\, dt= \frac{15}{56}\)

---

1. otázka, riešenie 4 – simulácia:

Niekedy môže byť presný výpočet náročný a niekedy je nemožný. Existujú metódy ako pomerne jednoducho zistiť nepresný výsledok. V matematike je slovo nepresný vyvrheľom a uznáva sa len presnosť. V reálnom živote nám často postačí približný výsledok – navigácia nás nemusí nasmerovať na milimeter presne, stačí na pár (desiatok) metrov. V strojárstve nám niekedy nevadí pár desatín/stotín/tisícin milimetra hore dole. V banke tiež nepotrebujeme PRESNOSŤ. Alebo že by sme potrebovali? Úroky väčšinou vychádzajú necelé číslo, napríklad 123,762430…€ ako vám to banka vyplatí? Zaokrúhli na 123,76 € a máme nepresnosť. (Odbočka: Medzi prvé podvody patrila úprava bankového systému tak, aby po zaokrúhlení posielal zvyšné miničiastky (v tomto prípade 0,002430..€) na účet programátora, keďže denne bolo takýchto transakcií tisíce, tak …, to si skoro každý dokáže spočítať a každý predstaviť. Programátor sa obhajoval, že banke tie peniaze nepatrili a klient ich aj tak nedostával.)

V tomto prípade môžeme generovať veľké množstvo čísel od 0 po 5 a od 0 po 7, porovnávať a zistiť približnú pravdepodobnosť. Metóda sa nazýva Monte Carlo.

Použili sme 1 milión náhodných dvojíc. Presnosť zhruba na tisíciny. Ak by sme použili 100 miliónov dvojíc, získali by sme presnosť zhruba na desať-tisíciny. Viac dvojíc znamená pravdepodobne presnejší výsledok – nie je to isté.

Niekedy sa to dá urobiť aj rozumnejšie/premyslenejšie. Aj v tomto prípade to ide.

---

2.otázka, riešenie

Prvý obrázok ukazuje všetkých 5 možností (riadkov) ak by bol posun po minútach. Modrá znázorňuje čas kedy príde prvý autobus na šach, ružová do krčmy a žltá znamená, že prídu naraz (vtedy rátame \(\frac{1}{2}\) štvorčeka pre každý autobus). Autobus do krčmy začína vždy v minúte 0. Autobus na šach má posun postupne o 0, 1, 2, 3, 4 minúty. Teda napríklad tretí riadok zobrazuje situáciu, keď autobus na šach začne s dvojminútovým oneskorením a v 7. minúte prídu oba autobusy naraz. V každom riadku je to rovnako (len sú poprehadzované 7 minútové stĺpce). Pri jednominútových posunoch by bola pravdepodobnosť \(\frac{12,5}{35}=\frac{5}{14}\). Rovnako je to aj pri pol minútových posunoch.

Ak budeme uvažovať 20 sekundové posuny, tak sa situácia zmení. Situácia je znázornená na nasledujúcom obrázku. Prvý riadok je bez posunu, takže je v princípe rovnaký ako druhý riadok na obrázku vyššie (štvorčekov je 3x viac lebo reprezentujú 20 sekúnd). V druhom riadku je posun o 20 sekúnd je tam postupne \(5 + 11 + 2 + 8 + 14 = 40\) ružových štvorčekov. Pretože máme 20 sekundový posun, autobusy sa nezosynchronizujú (nie sú tam žlté štvorčeky). Celkovo je \(35 \cdot 3\) štvorčekov. Preto je pravdepodobnosť \(\frac{5+11+2+8+14}{35\cdot 3}=\frac{40}{105}=\frac{8}{21}=0,\overline{380952}\). Rovnaký výsledok platí aj pre 80, 140, 200, 260 sekundový posun.

Ak by sme posun zmenšovali, tak by sa pravdepodobnosť zvyšovala a blížila by sa k \(\frac{15}{35}=0,\overline{428571}\). To by sme dosiahli, ak by bol posun napríklad nulový (prvý riadok, prvý aj druhý obrázok), autobusy by prišli v 35. minúte “naraz”, ale ten do krčmy prvý.