V mravenisku sa na šachový turnaj dvojíc prihlásilo 8 tímov. Podľa pravidiel má hrať každý proti každému jednu partiu s výnimkou svojho spoluhráča z tímu. Tímy sa odlišujú farbou.
Šachové turnaje sa hrajú tak, že všetci súťažiaci hrajú naraz. V tomto prípade by hralo v 1. kole naraz 8 dvojíc, v 2. kole zasa naraz iných 8 dvojíc, atď. A po 14 kolách by sa za šachovnicou stretli všetci okrem tímových spoluhráčov.
Ale v mravenisku majú iba jedinú šachovnicu, takže musia hrať postupne. Po nejakom čase sa hráč modrého tímu opýtal ostatných hráčov (aj spoluhráča) koľko už odohrali v tomto turnaji partií. Na jeho prekvapenie mu každý z opýtaných povedal iné číslo.
Koľko partií sa už odohralo v turnaji? Koľko partií odohral každý hráč modrého tímu? Koľko partií odohrali jednotlivé tímy?
Táto úloha je voľným pokračovaním úloh Mravce – šprintéri, Mravce – maratónci, Mravce a dúha a Mravce a šach.
Riešenie
Ak 15 hráčov povedalo rôzne čísla, museli to byť čísla 0, 1, 2, …, 14 – iná možnosť neexistuje.
Niekto povedal, že hral 14 partií, teda že už hral s každým. Nech to bol 1. hráč červeného tímu. V takom prípade je jediný hráč, ktorý mohol mať 0 odohraných partií, a to je 2. hráč červeného tímu.
Nech 1. hráč zeleného tímu odohral 13 partií, teda všetky až na jednu a tú nehral s 2. hráčom červeného tímu, ktorý ma 0 odohraných partií. Všetci nečervení a nezelení hráči majú v takom prípade odohrané aspoň 2 partie (s 1. červeným a s 1. zeleným hráčom). 2. hráč červeného tímu má 0 odohraných partií. Preto jediný, kto mohol hrať presne 1 partiu je 2. hráč zeleného tímu.
Nech 1. hráč bieleho tímu odohral 12 partií, teda všetky až na dve a tie nehral s 2. hráčmi červeného a zeleného tímu, ktorí hrali 0 respektíve 1 partiu. Všetci nečervení, nezelení a nebieli hráči majú v takom prípade odohrané minimálne 3 partie (s 1. červeným, s 1. zeleným a 1. bielym hráčom). 2. hráč červeného tímu má 0 odohraných partií. 2. hráč zeleného tímu má 1 odohranú partiu. Preto jediný, kto hral presne 2 partie je 2. hráč bieleho tímu.
A tak ďalej.
V každom tíme je teda súčet odohraných partií 14. Preto celkový počet odohraných partií je \(\frac{14 \cdot 8}{2}=56\).
V modrom tíme odohrali po 7 partií, v inom tíme to byť nemohlo, pretože odpovede boli rôzne čísla.