Na kruhovej trati je náhodne rozmiestnených niekoľko mravcov. Majú krásne dúhové trikoty a pozerajú sa do stredu. Na príkaz „Štart“ sa náhodne (50%) otočia doprava alebo doľava a rozbehnú sa, všetky rovnakou rýchlosťou. Ak do seba narazia, tak sa (nestrácajúc čas) otočia a utekajú opačným smerom. Trať má 50 m, ich rýchlosť je 50 m/min.
Po akom čase budú všetky naraz na svojom pôvodnom mieste? (Pri niektorých otočeniach sa to udeje skôr, ako pri iných. Zaujíma nás čas, kedy budú na svojich pôvodných pozíciach, nech boli otočené akokoľvek.)
Táto úloha je voľným pokračovaním úloh Mravce – šprintéri a Mravce – maratónci.
Riešenie
Ak je na štarte \(n\) mravcov, tak najneskôr po \(n\) minútach budú všetky naraz na svojich východiskových pozíciach.
Uvažujme chvíľu iné pravidlo: ak sa stretnú dva mravce, tak prejdú cez seba. Pomenujme takéto preteky „nové“. Aj keď sú nové a pôvodné preteky odlišné, tak sú podobné v tom, že v každom čase sú mravce (pokiaľ ich nerozlišujeme farbami) na rovnakých pozíciach a pohybujú sa rovnakými smermi. Napríklad, ak je v nových pretekoch po 33 sekundách na pozícii 9 (ako na ciferníku) mravec pohybujúci v protismere hodinových ručičiek, tak v tom čase tam bude aj nejaký mravec v pôvodných pretekoch a tiež bude v protismere hodinových ručičiek.
Po minúte je v „nových“ pretekoch každá štartovacia pozícia obsadená svojim mravcom, ktorý je natočený v pôvodnom smere. Preto aj v pôvodných pretekoch bude po minúte na každej štartovacej pozícii nejaký mravec (nemusí to byť ten, ktorý tam patrí) a bude natočený rovnakým smerom akým bol natočený mravec, ktorý odtiaľ štartoval. Okrem toho vieme, že v pôvodných pretekoch sa zachováva pozícia susedných mravcov. Napríklad, ak žltý mravec štartoval medzi zeleným a oranžovým, tak medzi nimi bude navždy – poradie sa nemení.
Preto sú po jednej minúte pôvodných pretekov na všetkých štartovacích pozíciach mravce, ktoré sú nasmerované tak, ako bol nasmerovaný mravec, ktorý štartoval z danej pozície. Pretože pôvodné poradie je zachované, tak je to akoby boli pootočené (možno o 0°) oproti pozícii zo začiatku pretekov.
Preto budú najneskoršie po \(n\) minútach všetky mravce na svojich štartovacích pozíciach.