Maroško a Peťko riešia šachové úlohy.
- Maroško vyrieši tento rok 248 úloh. Každý ďalší rok ich vyrieši o 64 viac.
- Peťko vyrieši tento polrok 64 úloh. Každý ďalší polrok ich vyrieši o 32 viac.
Je jasné, že takto usilovne budú pracovať 10 rokov.
O koľko tisíc úloh vyrieši Peťko viac? (celkovo za 10 rokov)
Riešenie
Aj keď to tak nevyzerá, Peťko vyrieši za 10 rokov o 2 000 úloh viac ako Maroško.
Na prvý pohľad sa zdá, že sa obaja zlepšia za rok o 64 úloh.
Ale Peťko sa zlepšuje za rok o 128 úloh. Stále to nie je jasné?
1. 1. 2023 je Peťkov výkon 32 úloh za polrok. 1. 7. 2023 stúpne na 64 úloh za polrok.
1. 1. 2024 je to už 96 úloh za polrok a 1. 7. 2024 to bude 128 úloh za polrok.
Je zrejmé, že oproti polroku pred rokom sa Peťko zlepšuje 64 úloh, teda za rok dokopy o 128 úloh.
To vedie k domnienke, že ak sa za rok Peťko zlepšuje o 64 úloh viac ako Maroško, tak za 10 rokov to bude 640 úloh. Odčíta sa počiatočný rozdiel 184. A rozdiel je 456.
To nie je správna úvaha, pretože každé navýšenie sa pripočítava všetky ďalšie roky.
Maroško: \(10\cdot248 + 45 \cdot 64=5360\)
Teda 10 rokov po 248 a 9 rokov po +64. 64 je navyšovanie, preto sa prvé navýšenie prejaví 9 krát, druhé 8 krát, … a posledné 1 krát. Súčet aritmetickej postupnosti \(1+2+\dots+9=45\). Znalí použijú vzorček \(\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\).
Peťko \(20\cdot64 + 190\cdot 32=7360\), pretože \(190=1+2+\dots+19\).
| Maroško | Peťko | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Rok | + za rok | Spolu | + 1. polrok | + 2. polrok | + za rok | Spolu |
| 1 | 248 | 248 | 64 | 96 | 160 | 160 |
| 2 | 312 | 560 | 128 | 160 | 288 | 448 |
| 3 | 376 | 936 | 192 | 224 | 416 | 864 |
| 4 | 440 | 1376 | 256 | 288 | 544 | 1408 |
| 5 | 504 | 1880 | 320 | 352 | 672 | 2080 |
| 6 | 568 | 2448 | 384 | 416 | 800 | 2880 |
| 7 | 632 | 3080 | 448 | 480 | 928 | 3808 |
| 8 | 696 | 3776 | 512 | 544 | 1056 | 4864 |
| 9 | 760 | 4536 | 576 | 608 | 1184 | 6048 |
| 10 | 824 | 5360 | 640 | 672 | 1312 | 7360 |
Tabuľka plne súhlasí s výpočtom.