Vo vrecku je 1 000 000 guliek, líšia sa iba farbou. Jediná je biela.
Väzeň si naslepo vytiahne jednu, ak je biela musí sa oženiť (inak nesmie) a z tohto žalára je prepustený.
Ak nie je biela, vráti ju naspäť, guľky sa premiešajú a na druhý deň musí ťahať opäť.
Na ktorý deň sa ožení najpravdepodobnejšie?
Riešenie
Bežná (a zlá) odpoveď: Každý deň je pravdepodobnosť sobáša rovnaká, pretože pravdepodobnosť vytiahnutia bielej guľky je každý deň rovnaká \(\left( \frac{1}{1\ 000\ 000}\right)\).
- Táto odpoveď neberie do úvahy, že na to aby sa guľka ťahala na druhý deň, tak by biela nesmela byť vytiahnutá prvý deň. Ak sa ťahá tretí deň, tak by biela nesmela byť vytiahnutá prvý ani druhý deň. A tak ďalej.
- Ďalšia námietka je, že ak by bola pravdepodobnosť sobáša každý deň \(\frac{1}{1\ 000\ 000}\), tak by biela guľka musela byť vytiahnutá na 100% v niektorom z prvých \(1\ 000\ 000\) dní, pretože súčet pravdepodobností musí byť \(1\).
Správne riešenie:
Na základe bodu 1 je jasné, že pravdepodobnosť sobáša je každým dňom menšia. A teda najpravdepodobnejšie sa ožení 1. deň experimentu (s pravdepodobnosťou \(\frac{1}{1\ 000\ 000})\).
Pravdepodobnosť bielej guľky je rovnaká, ale túto pravdepodobnosť musíme znižovať o pravdepodobnosť vytiahnutia nebielych guliek v predchádzajúcich \((n-1)\) dní, teda \(\left(\frac{999\ 999}{1\ 000\ 000}\right)^{n-1}\).
Pravdepodobnosť sobáša v deň \(n\) je \(\frac{1}{1\ 000\ 000}\cdot\left(\frac{999\ 999}{1\ 000\ 000}\right)^{n-1} \). Toto rozdelenie sa nazýva geometrické.
K bodu 2, súčet pravdepodobností sobáša v prvý až posledný (nekonečno) deň je \(1\).
\[\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{1\ 000\ 000}\cdot\left(\frac{999\ 999}{1\ 000\ 000}\right)^{n-1} =1\]
Na ľavej strane rovnosti je súčet geometrickej postupnosti.
\(\frac{1}{1\ 000\ 000}\) je jej prvý člen (\(a_1\)).
\(\frac{999\ 999}{1\ 000\ 000}\) je kvocient (\(q\)).
Súčet geometrickej postupnosti vypočítame podľa vzorca \(a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \).
Keďže \(-1<q<1\), inak povedané \(q\) je v absolútnej hodnote menšie než \(1\), tak člen \(q^n\) sa so zväčšujúcim \(n\) blíži k nule a v nekonečne bude nula.
Preto sa vzorček na výpočet súčtu GP zjednoduší na \(a_1 \cdot \frac{1}{1-q} \) a po dosadení do neho dostaneme rýchlo \(1\).
\(\frac{1}{1\ 000\ 000}\cdot \frac{1}{1-\frac{999\ 999}{1\ 000\ 000}}=\frac{1}{1\ 000\ 000}\cdot \frac{1}{\frac{1}{1\ 000\ 000}}=\frac{1}{1\ 000\ 000}\cdot \frac{1\ 000\ 000}{1}=1\)
Znalosť tejto úlohy by vám mala umožniť rýchle a bezproblémové vyriešenie úlohy Druhá myš si na syre pochutná.