Rubíny a smaragdy

Translate/Share:

Máme desať truhlíc s drahokamami. V každej truhlici ich môže byť viac druhov.
Iba v troch truhliciach sa nachádzajú rubíny. Smaragdy sú až v šiestich truhliciach.

Aká je pravdepodobnosť, že v náhodne vybratej truhlici, nebude ani rubín ani smaragd?
Aká je pravdepodobnosť, že v náhodne vybratej truhlici, bude aspoň jeden rubín alebo smaragd?

Riešenie

Pravdepodobnosť, že truhlica nebude obsahovať ani smaragd ani rubín, 1. spôsob

\(0,3 (0,6)\) – Pravdepodobnosť, že truhlica bude obsahovať rubín (smaragd)
\(0,7 (0,4)\) – Pravdepodobnosť, že truhlica nebude obsahovať rubín (smaragd)

Pravdepodobnosť, že truhlica nebude obsahovať ani smaragd ani rubín:
\(0,7 \cdot 0,4 = 0,28 \)

Pravdepodobnosť, že truhlica nebude obsahovať ani smaragd ani rubín 2. spôsob (použitie kombinácií):

  • Truhlice, v ktorých je aspoň jeden rubín očíslujeme 1, 2, 3.
  • Ak by žiadna z truhlíc 1 až 3 neobsahovala smaragd (vyberáme 6 truhlíc zo zvyšných 7), bola by len jedna truhlica bez rubínu a smaragdu, t. j. \(\frac{1}{10} \) možností.
  • Ak by presne jedna z truhlíc 1 až 3 obsahovala aj smaragd (vyberáme 5 truhlíc zo zvyšných 7), boli by dve truhlice bez rubínu a smaragdu, t. j. \(\frac{2}{10} \) možností.
  • Ak by presne dve z truhlíc 1 až 3 obsahovali aj smaragd (vyberáme 4 truhlice zo zvyšných 7), boli by tri truhlice bez rubínu a smaragdu, t. j. \(\frac{3}{10} \) možností.
  • Ak by presne každá z truhlíc 1 až 3 obsahovala aj smaragd (vyberáme 3 truhlice zo zvyšných 7), boli by štyri truhlice bez rubínu a smaragdu, t. j. \(\frac{4}{10} \) možností.

\(\frac{0.1\binom{7}{6}\binom{3}{0} + 0.2\binom{7}{5}\binom{3}{1} + 0.3\binom{7}{4}\binom{3}{2} + 0.4\binom{7}{3}\binom{3}{3} }{\binom{10}{6}}=\frac{7}{25}
\)


Pravdepodobnosť, že truhlica bude obsahovať aspoň jeden smaragd alebo rubín 1. spôsob:
\(1\,-\,0,7 \cdot 0,4 = 0,72 \)

Pravdepodobnosť, že truhlica bude obsahovať aspoň jeden smaragd alebo rubín 2. spôsob (použitie inklúzie a exklúzie):
\(0,3 + 0,6\,-\,0,3\cdot 0,6 = 0,72 \)