Janko a Marienka, potom čo prekabátili ježibabu, našli v perníkovej chalúpke jeden pár (skoro) sedemmíľových čižiem.
Pri ceste naspäť sa rozhodli použiť nasledujúci postup:
Janko si obuje sedemmíľové čižmy, prejde nejakú vzdialenosť, nechá ich na dohodnutom mieste a pokračuje ďalej normálnou rýchlosťou.
Marienka po čase dôjde na dohodnuté miesto, obuje si čižmy a pokračuje ďalej. Po čase dobehne Janka, pokračuje ďalej (predbehne ho) a po nejakom čase mu nechá čižmy na druhom dohodnutom mieste.
Janko dôjde po nejakom čase na druhé dohodnuté miesto, obuje si čižmy, dobehne Marienku, predbehne ju a nechá jej čižmy na treťom dohodnutom mieste.
A tak to bude pokračovať celú cestu domov, čo je vzdialenosť 80 km.
Ako dlho im pri tomto postupe bude trvať cesta domov ak si to dobre premyslia a budú chcieť prísť čo najskôr? (Nepočítajúc čas na odpočinok, prípadne iné zastávky.)
Rýchlosť každého dieťaťa v sedemmíľových čižmách je 20 km/hod, bez nich je to 5 km/hod.
Okrem toho sú tu ďalšie zaujímavé otázky:
Bolo by lepšie ak by si deti vymenili čižmy hneď ako jedno dobehne druhé? (t. j. že by sa nepredbiehali.)
Bolo by lepšie ak by si vymenili čižmy iba jedenkrát? Alebo presne dvakrát, presne trikrát, …?
Ako dlho by trvalo, kým dôjdu všetci domov, ak by s nimi šlo ďalšie dieťa? (ktoré oslobodili z perníkovej chalúpky)
Ako dlho by trvalo, kým dôjdu všetci domov, ak by s nimi šlo ďalšie dieťa a našli by dva páry čižiem?
Ako dlho by trvalo, kým dôjdu všetci domov, ak by ich bolo X a našli by Y párov čižiem? (\(Y\leq X \))
Táto úloha má voľné pokračovanie Sedemmíľové čižmy 2.
Riešenie
Ako prvé je dobré uvedomiť si, že to za ako dlho prídu domov, bude záležať od toho, kedy príde domov posledné z detí. Je jasné, že ak by posledné dieťa malo čižmy o čosi dlhšie, tak by prišlo skôr. Z toho vyplýva, že optimálne bude ak dôjdu domov všetky naraz.
Teda celkový čas oboch (všetkých) detí bude rovnaký, označme ho \(T\).
Otázkou je ako dlho bude mať každé dieťa obuté čižmy a či môže byť táto doba rôzna pre rôzne deti.
Ak by malo niektoré dieťa čižmy dlhšie než iné, tak by prišlo domov skôr – a to by nebolo optimálne (lebo niektoré by muselo prísť neskoršie). Z toho vyplýva, že každé dieťa bude používať čižmy rovnako dlho. To zodpovedá aj otázky, či sa vystriedať raz alebo viackrát a či sa predbiehať alebo meniť pri dobehnutí – je to jedno, dôležitá je rovnaká doba používania.
Zároveň sa ponúka jednoduchá, samozrejmá a chybná úvaha: Pri jednom páre čižiem a dvoch deťoch, bude používať čižmy každé dieťa polovicu času. Nie je to správne a dokonca ani možné. Pravdou je, že pri dvoch deťoch sa čižmy väčšinu času vôbec používať nebudú.
Správna úvaha je, že každé z dvoch detí bude používať čižmy polovicu cesty. Pri troch ich každé využije tretinu cesty. Pri n deťoch ich každé využije \(\frac{1}{n}\) cesty.
Situáciu pri dvoch deťoch a jednom páre čižiem znázorňuje nasledujúci obrázok:
Dôležité je si uvedomiť, že tento graf je dvojrozmerný. Napríklad body \(O\) a \(A\) sú od seba vzdialené na grafe v čase (vodorovná vzdialenosť = 16 hodín) a v priestore (zvislá vzdialenosť = 80 km). Samotná dĺžka úsečky \(OA\) nás nezaujíma, sklon úsečky ale vyjadruje rýchlosť, teda koľko kilometrov pribudne za hodinu (dve, tri, …).
Ak by šiel niekto celú cestu v čižmách (bodkovaná čiara OB), prišiel by domov za štyri hodiny.
Ak by šiel niekto celú cestu bez čižiem (čiarkovaná čiara OA), prišiel by domov za 16 hodín.
Janko (modrá čiara) šiel prvú polovicu cesty (dve hodiny, OC) v čižmách a druhu polovicu cesty (osem hodín, CF, rovnobežka s OA) bez čižiem.
Marienka (ružová čiara) šla prvú polovicu cesty (osem hodín, OD) bez čižiem a druhú polovicu cesty (dve hodiny, DF, rovnobežka s OB) v čižmách.
Každému trvala cesta desať hodín.
Čižmy sa šesť hodín vôbec nepoužívali – čakali, kým k nim príde Marienka.
Pre ďalšie riešenie je nutné poznať vzťah medzi časom, rýchlosťou a prejdenou vzdialenosťou:
\(t = \frac{s}{v} \)
kde
t – čas [hod.]
s – vzdialenosť, dráha [km]
v – rýchlosť [km/hod.]
Pre jeden pár sedemmíľových čižiem platí nasledovný vzťah:
Celkový čas sa rovná času strávenému v čižmách plus čas bez nich.
\(
T = \frac{x \cdot s}{v_c} + \frac{ (1-x) \cdot s}{v_n}
\)
kde
\(s\) – vzdialenosť
\(v_c\) – rýchlosť v sedemmíľových čižmách
\(v_n\) – normálna rýchlosť
\(x=\frac{1}{počet\_detí}\) – časť cesty, ktorú prešlo dieťa v čižmách, vyjadrená číslom od 0 po 1, napríklad \(x= \frac{1}{5}= 0,2 = 20 \%\) by platilo, ak by bolo detí päť. Ak by dieťa išlo v čižmách viac úsekov, tak je to súčet jednotlivých prejdených častí.
\((1-x)\) – časť cesty, ktorá bola prejdená bez čižiem. Platí, že \( x + (1-x)=1\), t. j. dokopy to je celá cesta (100%).
V prípade, že je p párov čižiem, môže každé dieťa ísť v čižmách \(p \cdot x\) cesty a bez čižiem \(1 – p \cdot x\), samozrejme nemá význam uvažovať viac párov čižiem ako je detí (ale rovnaký počet áno).
Celý vzťah:
\(
T = \frac{p \cdot x \cdot s}{v_c} + \frac{ (1-p \cdot x) \cdot s}{v_n}
\)
kde
\(p\) – počet párov čižiem
Z tohto napríklad vidno, že štyri deti s dvoma pármi čižiem prejdú cestu domov rovnako rýchlo ako dve deti s jedným párom.